جلسه 23 1 تابع آنتروپی و خاصیت مقعر بودن نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز

Transcript

1 نظریه اطلاعات کوانتمی ترم پاییز مدرس: ابوالفتح بیگی و امین راده گوهري نویسنده: علی ایزدي راد جلسه 23 تابع آنتروپی و خاصیت مقعر بودن در جلسه ي قبل به تعریف توابع محدب و صعودي پرداختیم و قضیه هاي جنسن کلین پیرل و لونر را بررسی کردیم. در این جلسه قصد داریم تا با استفاده از این قضایاي چند خاصیت تابع آنتروپی را بررسی کنیم تابع آنتروپی در تي وري اطلاعات کوانتومی به صورت (ρ H(ρ) = tr(ρ log تعریف میشود. تابع آنتروپی تابعی مقعر است و در ادامه با چند روش به بررسی این موضوع می پردازیم. تابع f(x) مقعر است اگر( f(x محدب باشد. بنابر این می خواهیم نشان دهیم که : ρ := qσ + qω H(ρ) qh(σ) + qh(ω) tr(ρ log ρ) qtr(σ log σ) qtr(ω log ω) و یا : اثبات اول: تابع f(t) = t log t یک تابع محدب است.اگر نامساوي بالا را بر حسب این تابع بازنویسی کنیم خواهیم داشت : tr(f(qσ + qω)) qtr(f(σ)) + qtr(f(ω)) بنابر این به دنبال این هستیم که نامساوي بالا را اثبات کنیم. ماتریس ρ یک ماتریس مثبت است و بنابراین می توان آن را به صورت زیر نوشت : ρ = λ i e i e i f(ρ) = f(λ i ) e i e i, f(λ i ) = e i f(ρ) e i حال : d tr(f(ρ)) = e i f(ρ) e i = f(λ i ) = f( e i ρ e i ) i= = f( e i qσ + qω e i = f(q e i σ e i + q e i ω e i ) چون تابع f(t) محدب است نامساوي جنسن براي آن برقرار است بنابراین : tr(f(ρ)) q f( e i σ e i ) + q f( e i ω e i )

2 و اکنون طرف راست نامساوي توسط نامسواي پیرل به صورت زیر در می آید : tr(f(ρ)) qtr(f(σ)) + qtr(f(ω)) و این همان نامساوي است که در صدد اثباتش بودیم.پس اثبات تمام است و نتیجه می گیریم که تابع آنتروپی یک تایع مقعر است اثبات دوم: می دانیم که تابع log(t) f(t) = t یک تابع محدب است از تعریف تابع محدب داریم که : qf(σ) + qf(ω) f(qσ + qω) در نتیجه با تعریف ρ = qσ + qω خواهیم داشت : ρ log(ρ) qσ log(σ) + qω log(ω) از قضایاي جبر خطی به خاطر داریم براي دوماتریس مثبت, Aاگر B A B آنگاه tr(b). tr(a) در نتیجه اگر از نامساوي بالا رد بگیریم خواهیم داشت : tr(ρ log(ρ)) qtr(σ log(σ)) + qtr(ω log(ω)) و این نامساوي مقعر بودن تابع آنتروپی را نشان می دهد. اثبات سوم: مجددا یا تعریف ρ = qσ + qω داریم : tr(ρ ln ρ) = tr((qσ + qω) ln ρ) = qtr(σ ln ρ) + qtr(ω ln ρ) با توجه به نامساوي بالا اگر بتوانیم اثبات کنیم که σ) tr(σیا ln ρ) tr(σ ln 0 ρ) tr(σ ln σ) tr(σ ln آنگاه اثبات مقعر بودن تابع به راحتی امکان پذیر می شود.براي اثبات این موضوع از نامساوي کلین کمک میگیریم طبق نامساوي کلین به ازاي تابع محدب f نامساوي زیر برقرار است: tr(f(a) f(b)) tr((a B)f (B)) اکنون با در نظر گرفتن f := t ln t و + t f = ln و A := σ, B := ρ و با استفاده از نامساوي کلین به دست می آوریم که : tr[σ ln σ ρ ln ρ] tr[(σ ρ)(ln ρ + )] tr[(σ ρ)(ln ρ + )] = tr(σ) tr(ρ) + tr(σ ln ρ) tr(ρ ln ρ) = tr(σ ln ρ) tr(ρ ln ρ) اما : در تساوي آخر از این واقعیت بهره جستیم که براي ماتریس هاي چگالیσ tr(ρ) = tr(σ) =,ρ برقرار است. درنتیجه : tr[σ ln σ ρ ln ρ] tr(σ ln ρ) tr(ρ ln ρ) tr(σ ln σ) tr(σ ln ρ) 0 اکنون اثبات مقعر بودن تابع آنتروپی ساده خواهد بود با توجه به نامساوي اخیر : tr(σ ln σ) tr(σ ln ρ) 2

3 tr(ω ln ω) tr(ω ln ρ) tr(ρ ln ρ) = qtr(σ ln ρ) + qtr(ω ln ρ) qtr(σ ln σ) + qtr(ω ln ω) بنابراین : نامساوي اخیر نشان میدهد که تابع آنتروپی مقعر است. اثبات چهارمی هم وجود دارد که از خاصیت نامنفی بدون آنتروپی نسبی به دست می آید تعریف آنتروپی نسبی و خواص ان را در قسمت بعدي اثبات وبررسی می کنیم اما اگر بدانیم که آنتروپی نسبی نامنفی است بنا به تعریف آن نامساوي زیر حاصل می شود و ادامه اثبات مانند روند اثبات سوم خواهد بود : 2 آنتروپی نسبی و خواص آن tr(σ ln σ) tr(σ ln ρ) در اثبات سوم مقعر بودن تابع آنتروپی فون نویمان به جمله ي (ρ tr(σ ln (σ tr(σ ln برخورد کردیم.اگر این رابطه را در پایه مناسب بنویسیم خواهیم داشت : tr(σ ln σ) tr(σ ln ρ) = λ i ln λ i λ i ln µ i = λ i ln( λ i µ i ) جمله ي اخر شبیه به رابطه ي انتروپی نسبی یا فاصله ي کولبک در تي وري اطلاعات کلاسیک است. در تي وري اطلاعات کلاسیک براي دو توزیع q(x) p(x), آنتروپی نسبی به صورت زیر تعریف می شود : D(p q) = p(x) log p(x) q(x) و بنابراین با این شهودي کلاسیکی می توان گفت که: tr(σ ln σ σ ln ρ) = λ i ln( λ i µ i ) := D(σ ρ) خواص انتروپی نسبی در ادامه ي این جلسه بررسی خواهند شد اما اولین خاصیتی که به اثبات چهارم ما براي بررسی مقعر بودن تابع انتروپی کمک می کند این است که : خاصیت اول : آنتروپی نسبی همیشه نامنفی است. براي درستی رابطه بالا با باز نویسی آنتروپی نسبی داریم : D(σ ρ) 0 D(σ ρ) = tr(σ ln σ σ ln ρ) = tr[σ ln σ] tr[σ 2 ln ρσ 2 ] = tr[σ 2 [σ 2 ln σ ln ρσ 2 ]] 3

4 به خاطر داریم که ضرب داخلی بین دوماتریس را می توانستیم به صورت (B,A) (B = tr(a در نظر بگیریم.اگر بخواهیم با این دید به جمله آخر رابطه اخیر نگاه بیاندازیم بد نیست توابع زیر را در ابتدا تعریف کنیم : Φ(A) := A ln σ + (ln ρ)a L(A) := Aσ, L 2 (A) = Aσ 2,..., L k (A) = Aσ k R(A) := ρa (LR)(A) = ρaσ = (RL)(A) (ln L)(A) = A ln σ = A ln σ و مشاهده می شود که : خاصیت اخیر با استفاده از بسط سري تیلور σ ln قابل حصول است. همچنین : Φ(A) = A ln σ + (ln ρ)a = (ln L)(A) + (ln ρ)(a) = [ln L + ln R](A) = ln(lr)(a) اکنون از این توابع براي باز نمایش رابطه ي آنتروپی نسبی کمک می گیریم : D(σ ρ) = tr[σ 2 [σ 2 ln σ ln ρσ 2 ]] = tr[σ 2 ( Φ(σ 2 ))] = σ 2, Φ(σ 2 ) = σ 2, ln(lr)(σ 2 ) ln( σ 2, LR(σ نامساوي پیرل ( 2 = ln( σ 2, ρσ 2 ) = ln(tr(σ 2 ρσ 2 ) = ln(tr(ρσ 2 σ خاصبت جابجایی ln(tr(ρ)) = )) 2 = ln() = 0 پس نامنفی بودن آنتروپی نسبی اثبات شد. تمرین : با نوشتن ρ و σ به صورت تجزیه اشمیت و قرار دادن آنها در تعریف رابطه ي آنتروپی نسبی و با توجه به اینکه آنتروپی نسبی در حالت کلاسیک نامنفی است نشان دهید که آنتروپی نسبی کوانتومی نیز نامنفی است. اکنون می خواهیم دیگر خواص آنتروپی نسبی را بررسی کنیم. در حالت کلاسیک می دانیم که : 4

5 I(X; Y ) = H(X) + H(Y ) H(X, Y ) = x x,y P X (x) log( P X (x) ) + P Y (y) log( P y Y (y) ) P X,Y (x, y) log( P X,Y (x, y) ) = D(P (x, y) P (X)P (Y )) مشابها در حالت کوانتومی نیز رابطه ي زیر برقرار است : I(A; B) = D(ρ AB ρ A ρ B ) درستی این رابطه را با بازنویسی تعریف آنتروپی نسبی می توان پیگیري نمود : D(ρ AB ρ A ρ B ) = tr(ρ AB log(ρ AB ) ρ AB log(ρ A ρ b )) log(ρ A ρ B ) = log(i ρ B )(ρ A I) = log(i ρ B ) + log(ρ A I) اما : همچنین به عنوان تمرین و با استفاده از بسط تیلور می توانید نشان دهید که log(i ρ B ) = I log ρ B است و بنابراین D(ρ AB ρ A ρ B ) = tr(ρ AB log(ρ AB )) tr(ρ AB log(ρ A ρ b ))) = H(AB) tr(ρ AB (I log(ρ B ))) tr(ρ AB (log(ρ A ) I)) = H(AB) + H(B) + H(A) = I(A; B) در محاسبات بالا از این واقعیت استفاده کردیم که ((( B tr(ρ AB I) log(ρ برابر با ) B tr(ρ B log ρ است.جهت تحقیق آن ابتدا می توانید ابتدا حالت ρ AB = ρ A ρ B را بررسی کنید و سپس تعمیم کلی ان توسط تجزیه اشمیت را بنویسید و از این نکته نیز استفاده کنید که. tr = tr A tr B به همین ترتیب در حالت کلاسیک داشتیم که : H(X Y ) = D(P (x, y) p(y)) و مشابها در حالت کوانتومی آن رابطه ي زیر برقرار است : H(A B) = D(ρ AB I A ρ B ) خاصیت دوم: 5

6 خاصیت دیگر آنتروپی نسبی این است که تحت عملگر یکانی ناوردا است یعنی : D(ρ σ) = D(UρU UσU ) تمرین: خاصیت بالا را اثبات کنید خاصیت سوم: یکی دیگر از خواص آنتروپی نسبی جمع پذیري آن است.بدین معنا که : D(ρ ρ 2 σ σ 2 ) = D(ρ σ ) + D(ρ 2 σ 2 ) D(ρ n σ n ) = nd(ρ σ) یکی از نتایج این خاصیت این است که : خاصیت چهارم: خاصیت مهم وجالب دیگر انتروپی نسبی این است که : D(ρ AB σ AB ) D(ρ A σ A ) قضیه آنتروپی نسبی دو حالت ρ و σ با اعمال یک نگاشت نویزي یکسان N به هر دو حالت کاهش پیدا می کند یعنی : D(ρ σ) D(N (ρ) N )(σ)) اثبات: هر نگاشت نویزي را می توان با اضافه کردن حالت 0 E به سیستم و اعمال کردن یک تحول یکانی به سیستم وسپس اثر جزي ی گرفتن به دست اورد یعنی N را به صورت U( 0 0 N (ρ) = tr E U(ρ نوشت. حال با این ایده : D(ρ σ) = D(ρ σ) + D( 0 0 E 0 0 E ) = D(ρ 0 0 E σ 0 0 E ) = D(Uρ 0 0 E U Uσ 0 0 E U ) D(N (ρ) N (σ)) در نامساوي آخر از خاصیت ) A D(ρ AB σ AB ) D(ρ A σ استفاده کردیم تمرین: نشان دهید که انتروپی نسبی بین دو حالت کوانتومی-کلاسیکی ρ XB و σ XB از رابطه زیر به دست می آید : D(ρ XB σ XB ) = P X (x)d(ρ x σ x ) x که در آن : ρ XB := x P X x x X ρ B x قضیه 2 تابع آنتروپی نسبی به صورت مشترك نسبت به آرگومان هاي خود محدب است یعنی اگر تعریف کنیم : = ρ D(ρ σ) x P X (x)d(ρ x σ x ) x P x(x)ρ x و σ = x P X(x)σ x آنگاه : 6

7 اثبات: از تمرین بالا می دانیم که : P X (x)d(ρ x σ x = D(ρ XB σ XB ) x اما از آنجا که بنا به خاصیت آنتروپی نسبی : D(ρ XB σ XB ) D(ρ B σ B ) D(ρ σ) x P X (x)d(ρ x σ x ) پس نتیجه میگیریم که : 7